用的好像很少，毕竟是数竞知识。

反演变换

前言

反演变换适用于题目中出现多个圆或直线之间的相切关系的情况，反演变换可以有效简便的解决这类问题。

定义

设在平面内给定一点$O$和常数$k$，对于平面内任意一$A$，确定$A'$，使$A'$为直线$OA$上一点，并且$\vec{OA} \cdot \vec{OA'} = k$，我们称这种变换为反演变换，点$O$即为反演中心$A'$为$A$关于点$O$的反演点。

反演变换本质上是属于平移，旋转，反射一类的几何变换。

以$O$点为圆心，$\sqrt{|k|}$为半径作圆，就得到了一个圆的反演变换：

接下来讨论其相关性质。

性质

性质1

反演变换可逆

对于定义里的描述，$A'$为$A$关于$O$点的反演点，同时就有$A$是关于$A'$的反演点。

性质2

• 在圆内的点其反演点一点在圆外
• 在圆外的点其反演点一定在圆内
• 在圆上的点的反演点与其在同一个位置

观察图形很容易得到的性质。

接下来引入一些几何图形关于圆的反演。

性质3

• 过反演中心的直线其反演后为自身

  

  • 不过反演中心的直线，反演后为过反演中心的圆

  

也许需要证明？也挺好推的，设反演中心为原点，直线解析式为$y = k_1 x+b$，反演得到的线段为$y = k_2x$，可以推得交点为$\frac{b}{k2-k1}$，设为$c$，再设交点的反演点为$(x,k_2x)$，再根据反演的定义得$(c^2 + k_2^2 c^2)(x^2 + k^2x^2) = r^4$,拆开后去掉常数项，会得到一个$x^y + y^2 = C \quad (C\in \mathbb{R})$的圆的方程。

性质4

• 不过反演中心的圆，其反演后仍为一个不过反演中心的圆

  

• 过反演中心的圆，其反演后为不过反演中心的一条直线

  

证明的话依然是利用解析式去证明，和上个性质证明过程没有太大区别。

性质5

两条直线或曲线的夹角大小在反演变换下是不变的。

体现了反演的反向保角性

性质6

两个圆相切，它们的反演图形也相切

（易证）

后记

现在你可以去尝试暴切CMO了